Mathématiques, informatique, politique et poésie
Soit \(E\) une partie de \(\mathbb{R}\). Alors quand \(M\) est un majorant de \(E\), on a:
\(\Rightarrow\) Si \(M\) est la borne supérieure de \(E\), par définition, il est le plus petit des majorants. Or en supposant \(\exists \varepsilon>0, \forall x \in E, M
-x \geq \epsilon\), il vient \(\forall x \in E, x \leq M-\varepsilon\) : autrement dit, \(M-\varepsilon\) est un majorant de \(E\), ce qui est impossible car il est strictement plus petit que \(M\).\(\Leftarrow\) Supposons \(\forall \varepsilon >0, \exists x \in E, M
-x<\varepsilon\).Supposons qu'il existe un majorant de \(E\) strictement plus petit que \(M\). Alors \(\exists \varepsilon >0, \forall x \in E, x \leq M
-\varepsilon\), ce qui est impossible. Donc \(M=\sup E\).