Claude S.

Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\) est \(M\) un majorant de \(A\). Alors :

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\(\Rightarrow\) On sait que

En particulier, on sait que si \(M=\sup(A)\), \(\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in A, M

-x_n < \frac{1}{n}\).

On peut donc construire

- par AC - une suite \((x_n)\) telle que \(M-\frac{1}{n} < x_n < M\), convergeant donc vers \(M\) par encadrement.

\(\Leftarrow\) On a : \(\forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \implies M

-\varepsilon En particulier, \(\forall \varepsilon >0, \exists u_{n_0} \in A, M

-u_{n_0} < \varepsilon\), et donc par la même propriété que ci dessus, \(M=\sup(A)\).