Mathématiques, informatique, politique et poésie
Un espace topologie \(E\) est de Fréchet
-Urysohn si l'adhérence \(\bar{P}\) de toute partie \(P\) est égale à son adhérence séquentielle \(\mathrm{Seq}(P)=\{x \in E|\exists (x_n) \in P^{\mathbb{N}}, x_n \to x\}\).Tout espace métrisable est de Fréchet
-Urysohn.En effet, si \(x\) est un point d'accumulation de \(P\), alors la boule ouverte centrée sur \(x\) de rayon \(\frac{1}{n+1}\) n'est jamais vide. Par l'axiome du choix, on peut donc construire une suite à valeurs dans \(P\) convergeant en \(x\). (Si \(x\) est dans \(P\) sans être un point d'accumulation, il suffit de considérer la suite constante égale à \(x.\)) Donc \(\overline{P} \subset \mathrm{Seq}(P).\)
Réciproquement, soit \((x_n) \in P^{\mathbb{N}}, x_n \to x\). Supposons \(x \notin P\) et soit \(U\) un voisinage de \(x\). \(\exists N, n \geq N \implies x_n \in U\). Or comme \(x\notin P\), \(\forall n, x_n \neq x\). Donc \(U\backslash \{x\}\cap P\) n'est pas vide, autrement dit si \(x\notin P\), \(x\) est un point d'accumulation de \(P\). D'où \(\mathrm{Seq}(P) \subset \overline{P}\).