Claude S.

Soit \(a = [(a_n)]\) et \(b=[(b_n)] \in \mathbb{R}\). Avec \(+\) et \(\times\) les opérations usuelles dans \(\mathbb{Q}\), on définit les lois de compositions:

- \(a+b=[(a_n)+(b_n)]\) - \(a\times b=[(a_n)\times(b_n)]\)

---

Montrons que ces deux lois sont bien définies, c'est à dire que si \([(a_n)]=[(c_n)]\) et \([(b_n)]=[(d_n)]\), alors \([(a_n+b_n)]=[(c_n+d_n)]\) et \([(a_n\times b_n)]=[(c_n\times d_n)]\).

- Si \(a_n-c_n \to 0\) et \(b_n-d_n\to 0\), alors \((a_n+b_n)-(c_n+d_n) \to 0\) par opérations sur les limites, c'est à dire \([(a_n+b_n)]=[(c_n+d_n)]\). - De plus, $\(a_n\times b_n - c_n \times d_n\)$$\(= a_n \times b_n -b_n \times c_n +b_n \times c_n - c_n \times d_n\)$$\(=b_n(a_n-c_n)+c_n(b_n-d_n)\)$

D'où \([(a_n\times b_n)]=[(c_n\times d_n)]\) car toute suite de Cauchy est bornée.