Claude S.

Soit \((u_n)\) une suite réelle croissante.

- Si \((u_n)\) est majorée, elle converge. - Sinon, elle diverge vers \(+\infty\).

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1. Soit \(A= \{u_n|n\in \mathbb{N}\}\). Comme \(A\) est non vide et majoré, d'après la propriété de la borne supérieure, il existe \(a=\sup A\).

On a donc par caractérisation séquentielle :

$\(\forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, a-\varepsilon \leq u_{n_0} \leq a\)$

Comme \((u_n)\) est croissante et majorée par \(a\) :

$\(\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \implies a-\varepsilon \leq u_{n_0} \leq u_n \leq a \leq a+\varepsilon\)$

D'où \((u_n)\) converge vers \(a\).

2. Comme \((u_n)\) n'est pas majorée :

$\(\forall M >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, u_{n_0} \geq M\)$

Par croissance de \((u_n)\) on peut aussi écrire :

$\(\forall M >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \implies u_n \geq M\)$

C'est

-à-dire \(u_n \to +\infty\).