Mathématiques, informatique, politique et poésie
Soit \(R\) une Relation d'équivalence sur une ensemble \(E\). L'Ensemble quotient \(E/R\) est une Partition de \(E\).
Montrons que \(([x])_{x\in E}\) est une partition.
- Par refléxivité \(\forall x \in E, x \in [x]\), donc :- Aucune classe d'équivalence n'est vide.
- Tous les éléments de \(E\) appartiennent à une classe d'équivalence. - Si \([x] \cap [y] \neq \varnothing\), alors \(\exists z, z \in [x] \land z \in [y]\). Alors \(xRz \land zRy\), et finalement par transitivité \(xRy\) et donc \([x]=[y]\).