Mathématiques, informatique, politique et poésie
L'ensemble des nombres décimaux est dense dans R.
On va utiliser la caractérisation séquentielle de la densité.
On part des deux inégalités qui définissent la partie entière : pour tout \(x \in\mathbb{R}\),
On en déduit
On pose \(a_n=\frac{E(10^n x)}{10^n}\) et \(b_n=\frac{E(10^n x)+1}{10^n}\).
Montrons \((a_n)\) croissante et \((b_n)\) décroissante :
On a :
$\((10^{n+1}x-1)-10^{n+1}x < E(10^{n+1}x)-10E(10^n x)<10^{n+1}x-10(10^n x-1)\)\(C'est à dire \)\(-1Et :
D'ou \((a_n)\) croissante et \((b_n)\) décroissante.
De plus, \(b_n
-a_n=10^{-n}\to 0\), donc \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite \(l\).Mais comme \(a_n \leq x < b_n\), par passage à la limite, \(l \leq x \leq l\), soit \(l=x\).
On a bien construit, pour tout \(x\), une suite de nombres décimaux tendant vers \(x\). D'où le résultat.