Mathématiques, informatique, politique et poésie
L'ensemble \(\mathbb{R}\) est l'ensemble des nombres réels.
On le construit comme suit :
Soit \(\mathcal{C}_{\mathbb{Q}}\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles.
Soit \((a_n)\) et \((b_n)\) dans \(\mathcal{C}_{\mathbb{Q}}\). Posons \((a_n)\sim(b_n)\) ssi \(a_n
-b_n\) tend vers 0. Alors \(\sim\) est une relation d'équivalence. Les nombres réels sont les classes d'équivalence \([(a_n)]\), qui forment une partition de \(\mathcal{C}_{\mathbb{Q}}\).On identifie tout élément \(q\) de \(\mathbb{Q}\) à \([(u_q(n))]\) où \(u_q\) est la suite stationnaire valant \(q\) pour tout \(n\). On a ainsi \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).