Mathématiques, informatique, politique et poésie
On définit sur ?\(\mathbb{R}\) la relation \(>\). On dit que \([(a_n)]>0\) si \([(a_n)] \neq 0\) et si \(a_n > 0\) à partir d'un certain rang. On dit que \([(a_n)]>[(b_n)]\) si \([(a_n
-b_n)]>0\).Montrons que cette relation est bien définie, c'est à dire que si \([(a_n)]=[(b_n)]\) et \([(a_n)]>0\), \([(b_n)]>0\).
\((a_n)\) est une suite de Cauchy ne tendant pas vers 0, donc \(\exists q \in \mathbb{Q}, \exists M, n \geq M \implies a_n > q > 0\).
De plus, comme \(a_n
-b_n \to 0\), \(\forall \varepsilon >0, \exists M', n \geq M' \implies a_n-\varepsilon < b_n < a_n+\varepsilon\).En particulier, \(\exists M', n \geq M' \implies a_n
-q < b_n < a_n+q\).Finalement, \(n \geq \max(M, M') \implies 0 < a_n
-q < b_n\).On définit maintenant la relation d'ordre \(\geq\) : on dit que \([(a_n)]\geq 0\) si \([(a_n)]=0\) ou si \(a_n >0\) à partir d'un certain rang. On dit que \([(a_n)]\geq[(b_n)]\) si \([(a_n
-b_n)\geq0\).