Mathématiques, informatique, politique et poésie
Toute suite réelle bornée possède une valeur d'adhérence.
Soit \((u_n) \in [a,b]^{\mathbb{N}}\).
Posons \(a_0=a\) et \(b_0=b\).
- Si \(\{n \in \mathbb{N} | u_n \in [a_0, \frac{a_0+b_0}{2}]\}\) est infini, on pose \(a_1=a_0\) et \(b_1=\frac{a_0+b_0}{2}\). - Sinon, \(\{n \in \mathbb{N} | u_n \in [\frac{a_0+b_0}{2}, b_0]\}\) est forcément infini et on pose \(a_1=\frac{a_0+b_0}{2}\) et \(b_1=b_0\).On construit ainsi par récurrence deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que :
- Pour tout \(n\), \([a_n, b_n]\) contient une infinité de termes de \((u_n)\) - \(a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1} \leq b_n\) - \(b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to 0\)\((a_n)\) et \((b_n)\) sont donc adjacentes et convergent vers une même limite.
De plus, on pose \(\varphi(0)=0\) et \(\varphi(n+1)=\min\{k \in \mathbb{N}|u_k \in [a_{n+1}, b_{n+1}] \land k>\varphi(n)\}\). Cette fonction est bien définie, d'une part grâce au principe du bon
-ordre, d'autre part parce que cet ensemble n'est jamais vide, comme \(\{k \in \mathbb{N}|u_k \in [a_{n+1}, b_{n+1}]\}\) est infini.\(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est bien strictement croissante, et de plus la suite extraite \(u_{\varphi(n)} \in [a_n, b_n]\) donc converge par encadrement vers la limite commune de \((a_n)\) et \((b_n)\).
C'est une application directe du plus général théorème de Bolzano-Weierstrass, qui caractérise les espaces compacts comme les fermés bornés de \(\mathbb{R}\) muni de la topologie standard.