Mathématiques, informatique, politique et poésie
Soit \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) continue sur \(I=[a,b]\). Alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes.
Supposons \(f\) non majorée. Alors \(\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in I, f(x_n) \geq n\)
Il existe donc une suite \((x_n) \in I^{\mathbb{N}}\) et d'après Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite \(x_{\varphi(n)}\) tendant vers \(l \in I\). Par continuité, \(f(x_{\varphi(n)})\) tend vers \(f(l)\).
Or par définition \(f(x_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \geq n\). Donc \(f(x_{\varphi(n)})\) tend vers \(+\infty\), ce qui est une contradiction. Donc \(f\) est majorée.
De même, supposons \(f\) non minorée. Alors \(\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in I,
-f(x_n) \geq n\).Il existe donc une suite \((x_n) \in I^{\mathbb{N}}\) et d'après Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite \(x_{\varphi(n)}\) tendant vers \(l \in I\). Par continuité, \(-f(x_{\varphi(n)})\) tend vers \(-f(l)\).
Or par définition \(
-f(x_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \geq n\). Donc \(-f(x_{\varphi(n)})\) tend vers \(+\infty\), ce qui est une contradiction. Donc \(f\) est minorée. ### Montrons que \(f\) atteint ses bornes, autrement dit, que \(f(I)\) admet un minimum et un maximum.\(f(I)\) est non vide et bornée, donc par propriété de \(\mathbb{R}\) il existe \(m=\inf(f(I))\) et \(M=\sup(f(I))\).
Montrons \(M \in f(I)\).
Par caractérisation séquentielle de la borne supérieure, il existe une suite \(x'_n\) dans \(f(I)\) telle que \(x'_n\) tende vers \(M\).
Donc il existe une suite \((x_n)\) dans \(I\) telle que \(f(x_n)\) tende vers \(M\).
D'après Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite \((x_{\varphi(n)})\) tendant vers \(l \in I\).
Donc par continuité, \(f(x_{\varphi(n)})\) tend vers \(f(l) \in f(I)\).
Or par définition \(f(x_{\varphi(n)})\) tend vers \(M\).
D'où finalement par unicité de la limite, \(M=f(l) \in f(I)\).
De même, \(m \in f(I)\).