Mathématiques, informatique, politique et poésie
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\), et \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\). Alors
Deux démonstrations :
### Par la borne supérieureSoit l'ensemble \(A=\{x\in [a,b]|f(x) \leq y\}\).
\(A \subset \mathbb{R}\) et est non vide et majoré par \(b\). Par propriété, il existe donc \(\sup A=c\).
Par caractérisation séquentielle, il existe une suite \((x_n) \in A^{\mathbb{N}}\) tendant vers \(c.\)
Comme \(f\) est continue, \(f(x_n) \to f(c)\), et de plus comme \(\forall n, x_n \in A\) on a \(\forall n, f(x_n) \leq y\), donc \(f(c) \leq y.\)
Soit maintenant l'ensemble \(B=\{x\in [a,b]|f(x)>y\}\). On a \(\inf B=c\).
Par caractérisation séquentielle, il existe une suite \((x_n) \in B^{\mathbb{N}}\) tendant vers \(c.\)
Comme \(f\) est continue, \(f(x_n) \to f(c)\), et de plus comme \(\forall n, x_n \in B\) on a \(\forall n, f(x_n) > y\), donc \(f(c) \geq y.\)
Finalement \(f(c)=y\).
### Par dichotomieSoit \(a_0=a\) et \(b_0=b\).
Si \(f(\frac{a_n+b_n}{2}) < y\), on pose \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\) et \(b_{n+1}=b_n\).
Si \(f(\frac{a_n+b_n}{2}) > y\), on pose \(a_{n+1}=a_n\) et \(b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\).
Si il n'existe pas de rang pour lequel \(f(\frac{a_n+b_n}{2}) = y\), on a ainsi bien défini par récurrence deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\).
De plus, pour tout \(n\) :
- \(a_n\leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n\) - \(b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\) - \(f(a_n)De plus par passage à la limite dans la troisème inégalité, et comme \(f\) est continue, \(y=f(l)\).
Sinon, on a bien trouvé \(x\in [a,b]\) tel que \(f(x)=y\).