Mathématiques, informatique, politique et poésie
\(\mathbb{R}\)? muni de ses deux opérations usuelles est un corps.
- \(([(a_n)] + [(b_n)])+[(c_n)]=[(a_n+b_n+c_n)]=[(a_n)]+([(b_n)] + [(c_n)])\), donc \(+\) est associatif.
- \([(a_n)]+[(b_n)]=[(a_n+b_n)]=[(b_n+a_n)]=[(b_n)]+[(a_n)]\), donc \(+\) est commutatif.
- Soit \((0_n)\) la suite nulle. \([(a_n)]+[(0_n)]=[(a_n+0_n)]=[(a_n)]\), donc \(0=(0_n)\), élément neutre de \(+\)
- \([(a_n)]+[(-a_n)]=[(0_n)]=0\), donc tout élément possède un inverse. - \((\mathbb{R}^*, \times)\) est un groupe abélien.
- \(([(a_n)] \times [(b_n)])\times[(c_n)]=[(a_n\times b_n\times c_n)]=[(a_n)]\times([(b_n)] \times [(c_n)])\), donc \(\times\) est associatif.
- \([(a_n)]\times[(b_n)]=[(a_n\times b_n)]=[(b_n\times a_n)]=[(b_n)]\times[(a_n)]\), donc \(\times\) est commutatif.
- Soit \((1_n)\) la suite constante égale à 1. \([(a_n)]\times[(1_n)]=[(a_n\times 1_n)]=[(a_n)]\), donc \(1=(1_n)\), élément neutre de \(\times\).
- Soit \((a_n)\) ne tendant pas vers 0, c'est à dire \([(a_n)] \neq 0\). Alors elle est non-nulle à partir d'un certain rang M. On considère alors une suite \((a'_n)\) ne s'annulant pas, telle que pour tout \(n \geq M\), \(a_n=a'_n\). On a \([(a_n)]=[(a'_n)]\) et on peut écrire : $\([(a_n)]\times[(\frac{1}{a'_n})]= [(a'_n)]\times[(\frac{1}{a'_n})]=1\)$ Tout élément possède donc un inverse. - \([(a_n)] \times ([(b_n)] + [(c_n)]) = [(a_n(b_n+c_n))] =[(a_n)] \times [(b_n)] + [(a_n)] \times [(c_n)]\).